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          從張力角度來解釋兩個小固體漂浮在液面上會靠近還是遠離

          來源:知乎 姜小白71 瀏覽 295 次 發布時間:2021-07-29

          若兩個小固體漂浮在液面上。當兩固體均被液體浸潤或當它們均不被浸潤時,表面張力的作用使相鄰兩固體相互接近;當一個是被浸潤而另一個不被浸潤時,表面張力使它們使他們遠離。怎樣從張力角度來解釋?


          這個現象叫做麥片圈效應(或者谷物圈效應,The Cheerios Effect),指的是早上起來泡一桶牛奶麥片,你就會發現,這些麥片要么聚集在一起,要么聚集在杯子邊緣。這其實是一個生活中常見的現象,也已經被學術界關注了很多年,相關的研究結果也比較成熟,下面給大家簡單介紹一下。

          麥片圈效應中使得麥片相互吸引的因素是麥片之間的橫向毛細力(Lateral Capillary Force),橫向毛細力可分為吸引力和排斥力,這里表現為吸引力。我們通過一個簡單的例子,來說明一下橫向毛細力產生的原因。首先考慮單個小球放置在液面上保持平衡,意即在重力的作用下對液面形成一個擾動,此時若液面上存在另外一個小球時,這種擾動會相互疊加,下圖中的液面便是最終的擾動狀態。

          從能量的角度來看,液體表面能并不是由獨立放置單個小球時液面表面能的簡單相加,還要加上一項因另外一個小球存在時的相互表面能,其與小球之間的距離直接相關。這種相互表面能表現為沿小球連線方向的橫向毛細力。


          如果從力的角度來看,兩個小球對液面的擾動使得水壓不再對稱,算上表面張力,可知小球會受到一個橫向力,即橫向毛細力,所以要計算它的大小,思路上很簡單,積分表面張力和壓強就可以了。但具體操作下來,先是線性化Young-Laplace方程,然后在雙極坐標系下進行積分,整個過程還是蠻復雜的,有興趣的同學可以挑戰一下自我。

          具體過程大家可以閱讀文末的參考文獻,這里直接給出在小顆粒和液面小變形下假設下,兩小球之間橫向毛細力的表達式,


          當F<0時,橫向毛細力表現為吸引力;F>0時則表現為排斥力。


          因為表達式中其他參數都為正數,那么我們只需關注的正負,此時你們應該理解了為什么稱為毛細電荷,這其實是在做靜電學的類比。再看毛細電荷的表達式,其實只需要判斷的正負,就能知道橫向毛細力是吸引力還是排斥力了。表示接觸線處液面切線的傾斜角,定義其往下為正。至此,我們就可以總結一些結論了。

          上圖便是水上兩個漂浮小球的吸引與排斥的判斷方法。值得注意的是,我們這里并沒有提及小球的浸潤性,也就是說,浸潤性與橫向毛細力的性質并不直接相關。實際上,橫向毛細力還可以分為漂浮橫向毛細力和浸沒橫向毛細力。我們討論的情況是漂浮橫向毛細力,由小球的重力引起,題主的所說的浸潤性應該換為小球的輕重(與水相比)。例如圖(a)里是兩個比水重的小球,表面張力將其往上拉。圖(b)是兩個比水輕的小球,表面張力將其往下拉。表面張力的方向恰好就對應了前述接觸線處液面的傾斜角。題主的所要表達的意思其實是:


          為什么漂浮在液面上的兩固體,均比水重或均比水輕時表面張力使之相互接近;一個比水重一個比水輕時相互遠離?


          當然我覺得沒有必要修改題主的描述,這看起來也是一種很直觀的描述,可能浸潤性這個詞也更容易吸引他人的關注。但實際上,與浸潤性相關的是浸沒橫向毛細力,表現在小球浸沒在一層液膜里,如下圖所示,我們可以使用同樣的方法對小球之間的吸引和排斥進行判斷。

          這里還不能忘記另外一個問題,即麥片也會在杯子邊緣聚集,這指的是麥片與固壁的相互作用。如果稍微拓展一下上面的方法,就可以解釋這個現象。但這里有一個更為簡單的解釋方法。

          如上圖(a),對于比水輕的小球,它更容易上浮,但小球受到液面約束,便會沿著液面上浮遠離固壁。在圖(b)中,小球比水重,它更容易下沉,在水面的約束下,便沿著液面下滑遠離固壁。至此,麥片圈效應的原理便得到了完全的解釋。下面拿幾個例子來練練手。這是某中學學生所做的實驗,來源于這個網站(科學小實驗)。


          實驗一:將小段竹筷(比水輕)和圖釘(比水重)撒入水中,觀察它們的行為。

          我們的結論是兩個比水重的顆?;蛘弑人p的顆粒將會相互吸引,一個比水重的顆粒和一個比水輕的顆粒將會相互排斥,實驗結果與我們的分析一致。


          實驗二:玻璃杯裝水未滿,放入圖釘與竹筷,然后加水注滿,至液面上凸。下面為實驗結果。

          開始時,在玻璃杯壁面處,由于玻璃杯的親水性,水面遠離杯壁時逐漸下降,那么比水輕的竹筷將會沿著水面上浮靠近杯壁,比水重的圖釘將會沿著水面下滑遠離杯壁。當加滿水后,水面遠離杯壁時逐漸上升,那么比水輕的竹筷將會上浮到水面頂部,比水重的圖釘將會下滑到杯壁處,該分析同樣與實驗結果一致。


          至于具體的實驗細節,大家可以參考上述網站。怎么樣,是不是也想動手操作一番?


          我強調一下,漂浮顆粒之間的毛細作用是由重力引起,與浸潤性無關。另一種與浸潤性有關的毛細作用我在原文中有提及。不過為了更好地闡述,我舉個特殊的例子吧。

          上圖中兩親水顆粒應該是相互吸引(圖中的接觸角都小于90°),若根據所謂的接觸面一凹一凸說法則兩顆粒應該互相排斥,自相矛盾!我把下面Kralchevsky et al文章中的摘要貼出來吧。

          這里寫的也比較清楚,漂浮顆粒之間的毛細作用由重力引起,其他的情況則是由顆粒的浸潤性導致。如果有人還有疑問的話,歡迎留言討論。


          【參考文獻】

          【1】Vella,D.,&Mahadevan,L.(2005).The“cheerios effect”.American journal of physics,73(9),817-825.

          【2】Kralchevsky,P.A.,&Nagayama,K.(2000).Capillary interactions between particles bound to interfaces,liquid films and biomembranes.Advances in colloid and interface science,85(2-3),145-192.

          【3】Pelesko,J.A.(2007).Self assembly:the science of things that put themselves together.Chapman and Hall/CRC.

          【4】趙亞溥.表面與界面物理力學.北京:科學出版社,2012.

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